«Где же ключи? Я их сюда на столик клалА»... или клАла? Как правильно?

Конечно, не «ложила» - это глагол вообще без приставок не живет. Правильно - «клАла», и только так, с ударением на первом слоге.

Ударение в русских глаголах - трудность для всех, даже для тех, кто по-русски говорит с детства, потому что нет общего правила и ударение может менять свое место в зависимости от формы слова. Но есть нормы, образцы правильного произношения и ударения, закрепленные в словарях.

Возьмем глаголы, которые в начальной форме оканчиваются на «-асть». Их мало: класть, красть (красться, украсть), пасть (упасть, совпасть, пропасть). Ударение в них неподвижно, всегда падает только на корень и никогда - на окончание.

Например, деньги на счет он клАл, они клАли, она клАла. Запомнить просто, можно в шутку связать с именем Клара: «мышка Клара тихо кралась, сыр крала, за щеку клала, ни разу не упала».

Будем говорить грамотно.