Мы, говорят, их к участию привлекем. Может, «привлеЧем»? Как правильно?

Конечно, «привлекем» - ошибка, как и «отвлекем»; правильно - «привлечем», «отвлечем». Речь о древних глаголах, которые теперь в начальной форме оканчиваются на «-чь». Их немного: «сжечь», «влечь», «стеречь», «печь», «беречь», «течь», «мочь» и так далее, а также родственные им с приставками («зажечь», «поджечь», «истечь» и подобные).

За долгую историю существования этих глаголов в языке согласные подверглись фонетическим изменениям, и конечный согласный Ч появился из сочетаний «-гт-» или «-кт-».

Глагол «мочь» в праславянскую эпоху звучал как «могти», «беречь» - как «бергти», «течь» - как «текти» и так далее. Теперь в этих глаголах согласные и конечные чередуются.

У глагола «привлечь» К сохранилась только в трех формах: «привлеку», «привлекут», «привлекли».

Будем говорить грамотно.